No puedes hacer nada, lo que te dicen en las otras respuestas son proxy y su anonimato es respecto a la pagina que visitas. es decir, sirve para que no pueda investigarte la web a la que entras. sin embargo tu kieres que quien no pueda investigarte sea el pc del servidor del colegio, eso es imposible por el simple motivo de que vuestros ordenadores no estan conectados a internet, estan conectados al servidor, y el servidor esta conectado a internet. cuando entras a una pagina, tu pc sin internet le dice al servidor que se la pida a internet, el servidor la pide, y se la envia a tu pc.
si consiguieras evitar que el servidor sepa que pides, tambien conseguirias evitar que lo pida y no podrias entrar.
Sin embargo si se puede hacer lo otro que dices, acceder a twitter etc... con los proxy que te comentan. ¿porque? porque ellos te bloquean haciendo que en cuanto detecten que entran a twitter o cualkiera de las direcciones que añadieron, no lo permite, pero si tu entras a un proxy, y el proxy entra por ti a twitter.. pues ellos no impiden que entres al proxy. eso si.. podran ver que lo haces, pillarte, y al dia siguiente bloquear ese proxy. tambien corren riesgo tus contraseñas, porque se las envias al proxy, no a twitter, tienes que fiarte de ellos.